Comparativo entre os Métodos Numéricos do ponto fixo e Newton na resolução de sistemas de equações não lineares

Comparativo entre os Métodos Numéricos do ponto fixo e Newton na resolução de sistemas de equações não lineares

• Autor
• ALEXSANDRO PINHEIRO DE MOURA
• Co-autores
• Matheus da Silva Menezes , Ivan Mezzomo , Estefanie Rayane Silva de Oliveira
• Resumo

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  No processo de resolução de vários problemas práticos de várias áreas da ciência, a exemplo das engenharias, computação e física, é comum a necessidade da resolução de sistemas de equações não lineares. Contudo, a determinação das soluções desses sistemas é um grande desafio da ciência. Para esse fim, há vários métodos numéricos que encontram boas soluções. Outro desafio é obter uma solução numérica que se encaixe dentro de limites razoáveis, com o mínimo de erro possível. Dessa forma, estudar métodos numéricos é relevante pois permite a automatização do procedimento de cálculo, escolhendo o que melhor se adapta a cada situação. Os métodos do ponto fixo e Newton pertencem à classe dos métodos iterativos. O método do ponto fixo consiste em transformar a equação em uma equação equivalente x = ?(x), por meio de manipulações algébricas, e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a sequência {xk} de aproximações pela relação xk+1 = ?(xk). O método de Newton surge como uma alternativa mais viável com relação ao método do ponto fixo, pois não há a necessidade de isolar algebricamente as variáveis em cada equação, isso simplifica os cálculos, pois muitas equações não permitem essa manipulação de maneira trivial. A vulnerabilidade no método de Newton surge a partir da necessidade de se calcular e inverter a matriz jacobiana em cada passo. Com o objetivo de comparar o desempenho dos métodos do ponto fixo e Newton, os mesmos foram implementados, utilizando software Matlab versão 4.51. O computador utilizado possui um processador Intel core I5-7500U, com 8 GB de RAM e sistema Windows 10. A comparação foi pautada em (a) o tempo de processamento em segundos, que os métodos levam para encontrar uma solução; e (b) número de iterações para encontrar uma solução. Para identificar qual a solução é satisfatória para a resolução dos sistemas de equações será utilizado como critério de parada o número máximo de iterações e o máximo resíduo entre soluções, no qual é dado por ||x(k) ? x(k?1)||? < ?, no qual x(k) é a solução mais atualizado e x(k?1) é a solução anterior, já ? é a tolerância pré-estabelecido como 10?8 e usamos aproximações iniciais específicas para cada problema. A partir dos resultados podemos inferir que o método de Newton obteve um melhor desempenho nos dois critérios analisados. Esse tipo de estudo é de grande importância para determinar a escolha de opção de utilização mais adequada dentre os métodos, quando houver a necessidade de resolver sistemas de equações não lineares.

   

• Palavras-chave
• Matlab, numérico, método, solução, iterações.
• Área Temática
• Ciências Exatas e da Terra

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